Теория вероятности: формулы и примеры решения задач. Теория вероятности формулы и примеры решения задач

Зная, что вероятность можно измерить, попробуем выразить ее в цифрах. Существуют три возможных пути.

Рис. 1.1. Измерение вероятности

ВЕРОЯТНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ СИММЕТРИЕЙ

Существуют ситуации, в которых возможные исходы равновероятны. Например, при бросании монеты один раз, если монета стандартная, вероятность появления «орла» или «решки» одинакова, т.е. Р(«орел») = Р(«решка»). Так как возможны лишь два исхода, то Р(«орел») + Р(«решка») = 1, следовательно, Р(«орел») = Р(«решка») = 0,5.

В экспериментах, где исходы имеют равные шансы появления, вероятность события Е, Р (Е) равна:

Пример 1.1. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Для начала найдем все возможные исходы: Чтобы убедиться, все ли возможные варианты мы нашли, воспользуемся диаграммой в виде дерева (см. гл. 1 раздел 1.3.1).

Итак, имеются 8 равновозможных исходов, следовательно, вероятность из них равна 1/8. Событие Е - два «орла и «решка - произошло три . Поэтому:

Пример 1.2. Стандартная игральная кость брошена два раза. Какова вероят того, что сумма очков равна 9 или больше?

Найдем все возможные исходы.

Таблица 1.2. Общее количество очков, получаемое при двукратном бросании игральной кости

Итак, в 10 из 36 возможных исходов сумма очков равна 9 или следовательно:

ВЕРОЯТНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ЭМПИРИЧЕСКИ

Пример с монетой из табл. 1.1 наглядно иллюстрирует механизм определ вероятности.

При общем числе экспериментов из которых удачных, верояп требуемого результата подсчитывается так:

Отношение есть относительная частота появления определен результата при достаточно продолжительном эксперименте. Вероятность подсчитывается либо на основе данных проведенного эксперимента, основе прошлых данных.

Пример 1.3. Из пятисот протестированных электроламп 415 проработали более 1000 часов. На основе данных этого эксперимента можно заключить, что вероятность нормального функционирования лампы данного типа более 1000 часов составляет:

Примечание. Контроль имеет разрушающий характер, поэтому не все лампы могут быть проверены. Если бы была протестирована только одна лампа, то вероятность составила бы 1 или 0 (т.е. сможет проработать 1000 часов или нет). Отсюда следует необходимость повторения эксперимента.

Пример 1.4. В табл. 1.3 приведены данные о стаже мужчин, работающих в фирме:

Таблица 1.3. Стаж работы мужчины

Какова вероятность того, что следующий принятый на работу в фирму человек проработает не меньше двух лет:

Решение.

Из таблицы видно, что 38 из 100 работников работают в компании больше двух лет. Эмпирическая вероятность того, что следующий работник останется в компании на срок более двух лет равна:

При этом мы предполагаем, что новый работник «типичен, а условия работы неизменны.

СУБЪЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ

В бизнесе часто возникают ситуации, в которых отсутствует симметрия, и экспериментальных данных тоже нет. Поэтому определение вероятности благоприятного исхода под влиянием взглядов и опыта исследователя носит субъективный характер.

Пример 1.5.

1. Эксперт по инвестициям считает, что вероятность получения прибыли в течение первых двух лет равна 0,6.

2. Прогноз менеджера по маркетингу: вероятность продажи 1000 единиц товара в первый месяц после его появления на рынке равна 0,4.

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

• Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
• Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
• Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

• А = «студенты пришли на лекцию».
• Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

• А = «студентка пришла на лекцию».
• В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

• А = «фирма получит первый контракт».
• А 1 = «фирма не получит первый контракт».
• В = «фирма получит второй контракт».
• В 1 = «фирма не получит второй контракт»
• С = «фирма получит третий контракт».
• С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

• К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

• М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

• классическое;
• статистическое;
• геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

• Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

Общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

Количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

Извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30-ти шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: - из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

Из урны будет извлечён красный шар;
- из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию - 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

На практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них - ноль, а другая - нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль - это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр - ноль, а другая цифра - нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их - всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
- вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин - код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр - то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже - большее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;

б) не более четырёх очков;

в) от 3-х до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где - цифра, выпавшая на 1-м кубике, - цифра, выпавшая на 2-м кубике.

Например:

На первом кубике выпало 3 очка, на втором - 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
- на первом кубике выпало 6 очков, на втором - 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
- на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую - две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: - при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
- искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: - выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия - подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
- вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.

в) Рассмотрим событие: - выпадет от 3-х до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : - выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
- вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.

Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.

Ответ :

В следующей задаче повторим таблицу умножения:

Задача 6

Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:

а) будет равно семи;

б) окажется не менее 20-ти;

в) будет чётным.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах;

б) двое выйдут на одном этаже;

в) все выйдут на одном этаже.

Решение : вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и способами - 2-й пассажир и способами - третий пассажир. По правилу умножения комбинаций: возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.

Второй способ основан на размещениях с повторениями :
- кому как понятнее.

а) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле проведите самостоятельно.

По классическому определению:

в) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .

Заходим с чёрного хода:

б) Рассмотрим событие: - два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий - на другом) .

События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет , а значит, .

В результате, искомая вероятность:

Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу , может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!

Ответ :

Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4-х знаков после запятой.

Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:

Что и требовалось проверить.

Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.

Самостоятельно:

Задача 8

Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:

а) на всех монетах выпадет орёл;

б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка;

в) орёл выпадет на половине монет.

Задача 9

На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

Решение : с общим количеством исходов проблем не возникает:
способами могут рассесться 7 человек на скамейке.

Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь - это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё - для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить способами.

Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.

Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:

Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место) , то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:

По классическому определению:
- вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

Ответ :

Задача 10

На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?

Справка : шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали

Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое - когда расставляешь фигуры собственными руками.

Задача 11

Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний :
способами можно выбрать 4 карты из колоды.

Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4-х карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, - две другие карты :

Способами можно извлечь одного туза;
способами можно выбрать одного короля.

Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 - 4 - 4 = 28

способами можно извлечь две другие карты.

По правилу умножения комбинаций:
способами можно извлечь искомую комбинацию карт (1-го туза и 1-го короля и две другие карты).

Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.

По классическому определению:
- вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.

Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.

Ответ :

Более простая задача для самостоятельного решения:

Задача 12

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали.

Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными;

б) одна деталь будет качественной, а одна - бракованной;

в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!

Задача 13

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?

Решение : итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 - 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов) .

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

Способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.

По правилу сложения комбинаций :
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами) .

По классическому определению:

Ответ :

Задача 14

Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что:

а) среди этих карт будет пара десяток и пара валетов;
б) игроку будет сдан флеш (5 карт одной масти);
в) игроку будет сдано каре (4 карты одного номинала).

Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?

! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.
Справка : в покер традиционно играют 52-х карточной колодой, которая содержит карты 4-х мастей номиналом от «двоек» до тузов.

Покер - игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками.

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 - 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

- вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4-х мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).

Таким образом, по классическому определению:
- вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.

а) Рассмотрим событие: - при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов,
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: - при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20-ти. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8

По классическому определению:

- искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:

- произведение очков будет чётным;

- произведение очков будет нечётным.

Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.

По классическому определению вероятности:

Противоположные события образуют полную группу, поэтому:

- искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение способами могут упасть 2 монеты.
Другой путь: способами может упасть 1-ая монета и способами может упасть 2-ая монета и … и способами может упасть 10-ая монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: - на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: - на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: - орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :

Задача 10: Решение : вычислим общее количество исходов:
способами можно расставить двух ладей на доске.
Другой вариант оформления: способами можно выбрать две клетки шахматной доски и способами поставить белую и чёрную ладью в каждом из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов: .

Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ую горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:

Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму: способами можно выбрать две клетки и способами переставить ладей в каждом из 28 случаев. Всего: возможных расположений фигур на горизонтали.
Короткая версия оформления: способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.

Проведённые рассуждения справедливы для каждой горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь: . Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:

Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:
4032 - 896 = 3136

По классическому определению вероятности:
- вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.

Ответ :

Задача 12: Решение : всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:
способами можно извлечь 2 детали из ящика.
а) Рассмотрим событие: - обе извлечённые детали будут качественными.
способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению вероятности:
б) Рассмотрим событие: - одна деталь будет качественной, а одна - бракованной.
способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: - обе извлечённые детали бракованны.
способами можно извлечь 2 бракованные детали.
По классическому определению:
Проверка : вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу: , что и требовалось проверить.
Ответ :

А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы - игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие - в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (выпадет 5 или 6 очков)
- вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3-х и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события и - несовместны.

Теперь, пользуясь классическим определением , найдём их вероятности:

Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой (ответ на 2 вопроса из 3-х или на все вопросы) . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
- вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.

Задача 1

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение : всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

По теореме сложения несовместных событий:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ : 0,55

Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

Задача 2

В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Аналогично - здесь можно использовать комбинаторное правило суммы , но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий!

Теория вероятности - довольно обширный самостоятельный раздел математики. В школьном курсе теория вероятности рассматривается очень поверхностно, однако в ЕГЭ и ГИА имеются задачи на данную тему. Впрочем, решать задачи школьного курса не так уж сложно (по крайней мере то, что касается арифметических операций) - здесь не нужно считать производные, брать интегралы и решать сложные тригонометрические преобразования - главное, уметь обращаться с простыми числами и дробями.

Теория вероятности - основные термины

Главные термины теории вероятности - испытание, исход и случайное событие. Испытанием в теории вероятности называют эксперимент - подбросить монету, вытянуть карту, провести жеребьевку - все это испытания. Результат испытания, как вы уже догадались, называется исходом.

А что же такое случайность события? В теории вероятности предполагается, что испытание проводится ни один раз и исходов много. Случайным событием называют множество исходов испытания. Например, если вы бросаете монету, может произойти два случайных события - выпадет орел или решка.

Не путайте понятия исход и случайное событие. Исход - это один результат одного испытания. Случайное событие - это множество возможных исходов. Существует, кстати, и такой термин, как невозможное событие. Например, событие "выпало число 8" на стандартном игровом кубике является невозможным.

Как найти вероятность?

Все мы примерно понимаем, что такое вероятность, и довольно часто используем данное слово в своем лексиконе. Кроме того, мы можем даже делать некоторые выводы относительно вероятности того или иного события, например, если за окном снег, мы с большой вероятностью можем сказать, что сейчас не лето. Однако как выразить данное предположение численно?

Для того чтобы ввести формулу для нахождения вероятности, введем еще одно понятие - благоприятные исход, т. е. исход, который является благоприятным для того или иного события. Определение довольно двусмысленное, конечно, однако по условию задачи всегда понятно, какой из исходов благоприятный.

Например: В классе 25 человек, трое из них Кати. Учитель назначает дежурной Олю, и ей нужен напарник. Какова вероятность того, что напарником станет Катя?

В данном примере благоприятный исход - напарник Катя. Чуть позже мы решим эту задачу. Но сначала введем с помощью дополнительного определения формулу для нахождения вероятности.

• Р = А/N, где P - вероятность, A - число благоприятных исходов, N - общее количество исходов.

Все школьные задачи крутятся вокруг одной этой формулы, и главная трудность обычно заключается в нахождении исходов. Иногда их найти просто, иногда - не очень.

Как решать задачи на вероятность?

Задача 1

Итак, теперь давайте решим поставленную выше задачу.

Число благоприятных исходов (учитель выберет Катю) равно трем, ведь Кать в классе три, а общих исходов - 24 (25-1, ведь Оля уже выбрана). Тогда вероятность равна: P = 3/24=1/8=0,125. Таким образом, вероятность того, что напарником Оли окажется Катя, составляет 12,5%. Несложно, правда? Давайте разберем кое-что посложней.

Задача 2

Монету бросили два раза, какова вероятность выпадения комбинации: один орел и одна решка?

Итак, считаем общие исходы. Как могут выпасть монеты - орел/орел, решка/решка, орел/решка, решка/орел? Значит, общее число исходов - 4. Сколько благоприятных исходов? Два - орел/решка и решка/орел. Таким образом, вероятность выпадения комбинации орел/решка равна:

• P = 2/4=0,5 или 50 процентов.

А теперь рассмотрим такую задачу. У Маши в кармане 6 монет: две - номиналом 5 рублей и четыре - номиналом 10 рублей. Маша переложила 3 монеты в другой карман. Какова вероятность того, что 5-рублевые монеты окажутся в разных карманах?

Для простоты обозначим монеты цифрами - 1,2 - пятирублевые монеты, 3,4,5,6 - десятирублевые монеты. Итак, как могут лежать монеты в кармане? Всего есть 20 комбинаций:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На первый взгляд может показаться, что некоторые комбинации пропали, например, 231, однако в нашем случае комбинации 123, 231 и 321 равнозначны.

Теперь считаем, сколько у нас благоприятных исходов. За них берем те комбинации, в которых есть либо цифра 1, либо цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Их 12. Таким образом, вероятность равна:

• P = 12/20 = 0,6 или 60%.

Задачи по теории вероятности, представленные здесь, довольно простые, однако не думайте, что теория вероятности - это простой раздел математики. Если вы решите продолжать образование в вузе (за исключением гуманитарных специальностей), у вас обязательно будут пары по высшей математике, на которых вас ознакомят с более сложными терминами данной теории, и задачи там будут куда сложнее.

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.