Занимательные задачи с кубиками.

Все предметы, которые нас окружают можно мысленно вписать в простые геометрические тела (куб, шар, конус, цилиндр, призма и др.). Изучая форму куба, мы узнаем, как нарисовать, к примеру, дом, потому что упрощенно дом рисуется с использованием тех же приемов что и куб. У него есть вершины, ребра и грани, как и у куба. Крыша дома – это многогранная призма.

Нарисуем куб с натуры, а затем будем использовать эти знания на наших для изображения более сложных предметов таких как дома и улицы.

Куб – геометрическое тело, образованное пересечением плоскостей. И, как всякий объемный предмет, при изображении на плоском листе он будет претерпевать изменения в соответствии с законами перспективы. На рисунке изображена линия горизонта это уровень плоскости зрения художника . На ней находятся точки схода параллельных линий. В нашем случае — это четыре горизонтальных линии, стремящихся в точку схода слева и четыре горизонтальных линии, стремящихся в точку схода справа.

Мы изображаем предметы в пространстве так, как их воспринимает наш глаз. (Чем дальше от зрителя, тем меньше выглядит предмет и т.д.)

Начало любой картины – это композиция. Легкими линиями намечаем наш предмет на листе. Сверху всегда должно быть чуть больше места от края, чем снизу. Интуитивно определите масштаб так, чтобы предмет не выглядел гигантским или слишком маленьким.

Расположите самое ближнее вертикальное ребро так, чтобы оно не совпадало с центром листа, проходящим через пересечение его диагоналей. Засечками отмечаем высоту, это самое высокое ребро в нашем изображении, так как оно ближе всех к зрителю. На глаз определяем угол наклона ребер лежащих на столе относительно горизонтали. Тренируйте зрительную память, запоминая угол. Взгляд переводите быстро то на куб, то на рисунок.

То же проделаем и с верхними ребрами. Как передавать пространство на листе нам объясняют основные законы линейной перспективы. Все параллельные линии сливаются к линии горизонта в одну точку. Поэтому, чтобы передать что ребро находится дальше от зрителя, мы изобразим его меньше и расположим выше . Таким образом, все ребра будут разной высоты.

При пересечении дальних горизонтальных ребер образовались вершины. Через них проходит самое дальнее, невидимое глазом, ребро. На начальном этапе изобразим куб прозрачным для понимания полной конструкции предмета.

Для того, чтобы узнать на сколько сократились боковые грани, воспользуемся методом визирования . При помощи этого метода происходит восприятие очертаний предмета, художник учится изображать предметы пропорциональными и в различных ракурсах.

Как он работает? Возьмите карандаш на вытянутой руке, прикройте один глаз, совместите карандаш и изображение ребра куба в пространстве. Верхний край карандаша должен совпадать с верхней вершиной ребра, а пальцем зажмите на карандаше точку, совпадающую с нижней вершиной. Не убирая палец с карандаша, разверните под прямым углом и измеряйте расстояние между двумя ребрами. Таким образом, мы увидим соотношение высоты и ширины одной грани. Запомните это соотношение и передайте его на рисунке. Этим методом можно измерять и изображать так же соотношение ребер.

После того, как закончены линейные построения, приступаем к воздушной перспективе , а значит к штриховке.

Основная задача художника передавать объемные формы предметов. У нашего кубика мы видим три грани, все они разные по тону. Левая грань самая темная — это собственная тень предмета. Благодаря отраженному свету от окружающих предметов или рефлексам, штриховку делаем немного светлее по мере удаления влево. Самое большое ребро делают контрастней, чем все остальные. Таким образом, показывают его приближенность на передний план.

Верхняя плоскость темнее , чем вертикальная справа. Свет по ней лишь скользит, образуя полутон. Обратите внимание, что чем ближе к источнику света, тем светлее будет тон. Штриховку можно наносить по диагонали. На ребре ластиком высветлим, чтобы передать блик.

Для работы над самой светлой гранью возьмем твердый карандаш Н или 2Н . Он не даст сделать тон слишком темным. Штриховку нанесем вертикальную, по направлению плоскости.

Падающие тени всегда темнее, чем собственная тень предмета. Ближнее ребро – это линия перехода света и тени. Из нее начинается падающая тень. Чем ближе к предмету, тем насыщеннее тон. Отраженный свет от куба создает рефлекс внутри тени и она немного высветляется.

Рисование простых геометрических тел часто используется на и позволяет начинающему художнику научиться изображать предметы в пространстве, применяя законы перспективного построения и воздушной перспективы.

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

260. Заполните теорию.

1) Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником .
2) Сторона граней прямоугольного параллелепипеда называют ребрами , вершины граней - вершинами прямоугольного параллелепипеда .
3) У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
4) Грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими .
5) Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны .
6) Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей его граней .
7) Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
8) Чтобы различать измерения прямоугольного параллелепипеда, пользуюятся названиями: длина, ширина и высота.
9) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны .
10) Поверхность куба состоит из шести равных квадратов .

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.

1) Вершина В принадлежит граням АМКВ, АВСD, КВСЕ .
2) Ребру ЕF равны ребра КМ, АВ, СD .
3) Верхняя грань параллелепипеда - прямоугольник МКЕF .
4) Ребро DF является общим ребром граней АМFD и FЕСD .
5) Грани АМКВ равна грань FЕСD .

262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.

Решение :
Площадь одной грани равна
6 2 -6*6 = 36 (см 2)
Площадь повехности равна
6*36 = 216 (см 2)

Ответ : Площадь поверхности равна 216 см 2 .

263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.

Решение :
Сумма ребер
4*(8+5+3) = 64 (см)
Площадь поверхности равна:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см 2)

Ответ : сумма длин всех его ребер равна 64 см, площадь поверхности - 158 см 2 .

264. Заполните пропуски.

1) Поверхность пирамиды состоит из боковых граней - треугольников, имеющих общую вершину и основание .
2) Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды .
3) Стороны основания пирамиды называют ребрами основания , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, - боковыми ребрами .

265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.

1) На рисунке изображена 5 угольная пирамида.
2) Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA , а основанием - 5 угольник, ABCDE .
3) Вершиной пирамиды является точка S .
4) Ребрами основания пирамиды являются отрезки AB, BC, CD, DE, EA , боковыми ребрами - отрезки SA, SB, SC, SD, SE .

266. На рисунке изображена пирамида DАВС.ю все грани которой - равносторонние треугольники со сторонами по 4 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин ребер равна
6*4 = 24 (см)

Ответ : 24 см.

267. На рисунке изображена пирамида МАВСD, боковые грани которой - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 7 см, а основание - квадрат со стороной 8 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин боковых ребер равна
4*7 = 28 (см)
Сумма длин ребер основания равна
4*8 = 32 (см)
Сумма длин всех ребер
28+32 = 60 (см)

Ответ : сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.

268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?

Ответ : 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.

270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.

271. Чему равно ребро куба, если площадь его поверхности равна 96 см 2 .

Решение :
1) 96:6 = 16 (см 2) - площадь одной грани куба.
2) 4*4 = 16, значит ребро куба равна 4 см.

Ответ : 4 см.

272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:

1) куба, ребро которого равно а;
2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c.

Ответ : 1) S = 6а 2 ; 2) S = 2(аb+ас+bс)

273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.

Решение :
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (г) - на покраску единичной грани
2) 5*12 = 60 (г) - на покраску голубой поверхности

Ответ : потребуется 60 г раски

274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?

275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.

Решение :
1) 4*3 = 12 (см) длина переллелепипеда
2) 4+5 = 9 (см) ширина параллелепипеда
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (см 2) площадь поверхности параллелепипеда
4) 384:6 = 64 (см 2) площадь грани куба
5) 64 = 8*8 = 8 2 , значит ребро куба 8 см.

Ответ : ребро куба 8 см.

276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.

277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?

Приложение № 2

Упражнения на формирование действия воображения

№1. Из четырех кубиков выложить параллелепипед можно двумя способами. Одинаковой ли будет площадь поверхности параллелепипеда в первом и втором случаях?

№2. Объем параллелепипеда равен 64 см 3 , ширина - 4 см, высота - 2 см. Длину этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. Определите объем получившегося параллелепипеда. (С помощью учителя учащиеся должны представить, что заданный в условии параллелепипед разрезают на два параллелепипеда, при этом длина «отрезаемого» параллелепипеда равна 3 см. Отсюда, чтобы решить задачу, необходимо объем исходного параллелепипеда уменьшить на объем «отрезанной» части.)

№ 3 . Начертите какую-нибудь прямую и обозначьте ее буквой а. Постройте несколько точек, находящихся от прямой а на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки?

№ 4. На рисунке изображена каркасная модель куба. Назовите ребра, выходящие из вершины М.

№ 5. Заштрихуйте видимые грани куба, используя для каждой грани свой цвет.

№ 6 . На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед, повернутый на зрителя ребром LN. Обведите видимые ребра сплошными, невидимые - штриховыми линиями .

№ 7. На рисунке 11 показан способ построения прямоугольника. Опишите словами предложенный способ и выполните построения.

№ 8. Подумай, какие из фигур, изображенных на рисунке, могут быть разверткой куба?

№ 9. Какие точки совместятся при склеивании развертки, изображенной на рисунке?

Выполнению этого задания должно обязательно предшествовать изготовление учащимися данной развертки из листа бумаги.

№ 10. По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия, сделанная из проволоки. Нанесите эту ломаную на изображение куба спереди, сверху и слева.

№ 11. Сколько нужно кубиков, чтобы сложить башню, изображенную на рисунке?

№ 13. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными. Б – боковая грань, В – верхняя, Н – нижняя.

№ 14 . На куб смотрели справа сверху. Проведите сплошные линии так, чтобы куб был виден слева снизу, справа сверху, справа снизу.

№ 15. Сколько различных квадратов с вершинами в данных точках можно начертить на рисунке?

№ 16. Какое наименьшее число кубиков потребуется для постройки башни? На рисунке показан вид спереди и вид слева.

№ 17. Постройте отрезок АС, если известно, что точка В является серединой этого отрезка и отрезок ВС равен 4 см 2 мм.

№ 18 . Провели биссектрису развернутого угла и биссектрисы каждого из полученных углов. Сколько всего углов получилось? Найдите величины этих углов.

№ 19. Сколько граней будет иметь многогранник, который получится, если у куба отрезать все вершины?

№ 20. Обведите сплошными линиями ребра куба, чтобы он был виден справа сверху (слева снизу; слева сверху; справа снизу).

№ 21. Лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, сложили пополам, как показано на рисунке. Затем разрезали по пунктирной линии

и меньшую отрезанную часть развернули. Какова форма развертки меньшей отрезанной части?

№ 22. Посмотрите, как можно, соединяя точки, сделать рисунок. Попробуйте нарисовать что-нибудь сами, соединяя точки.