Как найти х в геометрической прогрессии формула. Геометрическая прогрессия
Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни
Функции и графики
Ребята, сегодня мы познакомимся с еще одним видом прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия - геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.Зададим нашу последовательность рекуррентно: $b_{1}=b$, $b_{n}=b_{n-1}*q$,
где b и q – определенные заданные числа. Число q называется знаменателем прогрессии.
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице, а $q=2$.
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми,
а $q=1$.
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем,
а $q=-1$.
Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности.
Если $b_{1}>0$, $q>1$,
то последовательность возрастающая.
Если $b_{1}>0$, $0
Последовательность принято обозначать в виде: $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n}, ...$.
Также как и в арифметической прогрессии, если в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией .
$b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n-2}, b_{n-1}, b_{n}$.
Отметим, если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов членов, также является геометрической прогрессией. У второй последовательность первый член равен $b_{1}^2$, а знаменатель равен $q^2$.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:$b_{1}=b_{1}$.
$b_{2}=b_{1}*q$.
$b_{3}=b_{2}*q=b_{1}*q*q=b_{1}*q^2$.
$b_{4}=b_{3}*q=b_{1}*q^3$.
$b_{5}=b_{4}*q=b_{1}*q^4$.
Мы легко замечаем закономерность: $b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$.
Наша формула называется "формулой n-ого члена геометрической прогрессии".
Вернемся к нашим примерам.
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице,
а $q=2$.
$b_{n}=1*2^{n}=2^{n-1}$.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати, а $q=\frac{1}{2}$.
$b_{n}=16*(\frac{1}{2})^{n-1}$.
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а $q=1$.
$b_{n}=8*1^{n-1}=8$.
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а $q=-1$.
$b_{n}=3*(-1)^{n-1}$.
Пример. Дана геометрическая прогрессия $b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … $.
а) Известно,что $b_{1}=6, q=3$. Найти $b_{5}$.
б) Известно,что $b_{1}=6, q=2, b_{n}=768$. Найти n.
в) Известно,что $q=-2, b_{6}=96$. Найти $b_{1}$.
г) Известно,что $b_{1}=-2, b_{12}=4096$. Найти q.
Решение.
а) $b_{5}=b_{1}*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^{n-1}=6*2^{n-1}=768$.
$2^{n-1}=\frac{768}{6}=128$,так как $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_{6}=b_{1}*q^5=b_{1}*(-2)^5=-32*b_{1}=96 => b_{1}=-3$.
г) $b_{12}=b_{1}*q^{11}=-2*q^{11}=4096 => q^{11}=-2048 => q=-2$.
Пример. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.
Решение.
Нам известно, что: $b_{7}-b_{5}=192$ и $b_{5}+b_{6}=192$.
Мы так же знаем: $b_{5}=b_{1}*q^4$; $b_{6}=b_{1}*q^5$; $b_{7}=b_{1}*q^6$.
Тогда:
$b_{1}*q^6-b_{1}*q^4=192$.
$b_{1}*q^4+b_{1}*q^5=192$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}b_{1}*q^4(q^2-1)=192\\b_{1}*q^4(1+q)=192\end{cases}$.
Приравняв, наши уравнения получим:
$b_{1}*q^4(q^2-1)=b_{1}*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Получили два решения q: $q_{1}=2, q_{2}=-1$.
Последовательно подставим во второе уравнение:
$b_{1}*2^4*3=192 => b_{1}=4$.
$b_{1}*(-1)^4*0=192 =>$ нет решений.
Получили что: $b_{1}=4, q=2$.
Найдем десятый член: $b_{10}=b_{1}*q^9=4*2^9=2048$.
Сумма конечной геометрической прогрессии
Пусть у нас есть конечная геометрическая прогрессия. Давайте, также как и для арифметической прогрессии, посчитаем сумму ее членов.Пусть дана конечная геометрическая прогрессия: $b_{1},b_{2},…,b_{n-1},b_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n}$.
В случае, когда $q=1$. Все члены геометрической прогрессии равны первому члену, тогда очевидно, что $S_{n}=n*b_{1}$.
Рассмотрим теперь случай $q≠1$.
Умножим указанную выше сумму на q.
$S_{n}*q=(b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})*q=b_{1}*q+b_{2}*q+⋯+b_{n-1}*q+b_{n}*q=b_{2}+b_{3}+⋯+b_{n}+b_{n}*q$.
Заметим:
$S_{n}=b_{1}+(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})$.
$S_{n}*q=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q$.
$S_{n}*q-S_{n}=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q-b_{1}-(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})=b_{n}*q-b_{1}$.
$S_{n}(q-1)=b_{n}*q-b_{1}$.
$S_{n}=\frac{b_{n}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}*q^{n-1}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.
$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.
Мы получили формулу суммы конечной геометрической прогрессии.
Пример.
Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 4, а знаменатель 3.
Решение.
$S_{7}=\frac{4*(3^{7}-1)}{3-1}=2*(3^{7}-1)=4372$.
Пример.
Найти пятый член геометрической прогрессии, о которой известно: $b_{1}=-3$; $b_{n}=-3072$; $S_{n}=-4095$.
Решение.
$b_{n}=(-3)*q^{n-1}=-3072$.
$q^{n-1}=1024$.
$q^{n}=1024q$.
$S_{n}=\frac{-3*(q^{n}-1)}{q-1}=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^{n}-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Ребята, дана геометрическая прогрессия. Давайте рассмотрим три последовательных её члена: $b_{n-1},b_{n},b_{n+1}$.Мы знаем что:
$\frac{b_{n}}{q}=b_{n-1}$.
$b_{n}*q=b_{n+1}$.
Тогда:
$\frac{b_{n}}{q}*b_{n}*q=b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
$b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Тогда можно смело говорить, что это геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией, только когда квадрат каждого её члена равен произведению двух соседних с ним членов прогрессии. Не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена.
Давайте посмотрим вот на это тождество: $\sqrt{b_{n}^{2}}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$\sqrt{a*b}$ называется средним геометрическим чисел a и b.
Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
Пример.
Найти такие х, что бы $х+2; 2x+2; 3x+3$ являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_{1}=2$ и $x_{2}=-1$.
Подставим последовательно в исходные выражение, наши решения:
При $x=2$, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия, у которой $q=1,5$.
При $х=-1$, получили последовательность: 1;0;0.
Ответ: $х=2.$
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите восьмой первый член геометрической прогрессии 16;-8;4;-2… .2. Найдите десятый член геометрической прогрессии 11,22,44… .
3. Известно, что $b_{1}=5, q=3$. Найти $b_{7}$.
4. Известно, что $b_{1}=8, q=-2, b_{n}=512$. Найти n.
5. Найдите сумму первых 11 членов геометрической прогрессии 3;12;48… .
6. Найти такие х, что $3х+4; 2x+4; x+5$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Задачи:
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности;
знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Задачи:
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
Оборудование: компьютерный класс, проектор, экран.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Ход урока
I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.
Вопросы
1. Определение арифметической прогрессии.
(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,
Начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).
2. Формула n -го члена арифметической прогрессии
3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
( или )
4. Определение геометрической прогрессии.
(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,
Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на
Одно и то же число).
5. Формула n -го члена геометрической прогрессии
6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
7. Какие формулы вы еще знаете?
(, где ; ;
; , )
Задания
1. Арифметическая прогрессия задана формулой a n = 7 – 4n . Найдите a 10 . (-33)
2. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 4 . (4)
3. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 17 . (-35)
4. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите S 17 . (-187)
5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.
6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член.
7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4)
8. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 1 и q .
9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)
III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например ,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
При .
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
Решение:
Найдем q .
; ; ; .
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
Если n неограниченно возрастает, то
или . Поэтому , т.е. .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .
Например, для прогрессии ,
имеем
Так как
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .
III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
V. Домашнее задание.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э.Кольман В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В.П.Ермаков Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. Огастес де Морган Какая наука может быть более благородна, более восхитительна, более полезна для человечества, чем математика? Франклин
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 класс
I . Арифметическая и геометрическая прогрессии. Вопросы 1. Определение арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Формула n -го члена арифметической прогрессии. 3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. 4. Определение геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число 5. Формула n -го члена геометрической прогрессии. 6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
II . Арифметическая прогрессия. Задания Арифметическая прогрессия задана формулой a n = 7 – 4 n Найдите a 10 . (-33) 2. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 4 . (4) 3. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 17 . (-35) 4. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите S 17 . (-187)
II . Геометрическая прогрессия. Задания 5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член 6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член. 7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4) 8. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 1 и q . 9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)
определение: Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Задача №1 Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой: Решение: а) данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Например, для прогрессии имеем Так как Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле
Выполнение заданий Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3, вторым 0,3. 2. №13; №14; учебник, стр. 138 3. №15(1;3); №16(1;3) №18(1;3); 4. №19; №20.
С какой последовательностью сегодня познакомились? Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей? Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вопросы
Известный польский математик Гуго Штейнгаус шутливо утверждает, что существует закон, который формулируется так: математик сделает это лучше. А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше. Гуго Штейнгаус 14.01.1887-25.02.1972
Рассмотрим некоторый ряд.
7 28 112 448 1792...
Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.
Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.
a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.
Соответственно, z ∈ N.
Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:
0.25 0.125 0.0625...
Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:
Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.
Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.
Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.
Разновидности
В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:
- Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.
Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.
Тогда числовая последовательность может быть записана так:
3 6 12 24 48 ...
- Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.
Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.
Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:
6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.
- Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.
Тогда числовую последовательность можно записать так:
3, 6, -12, 24,...
Формулы
Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:
- Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.
Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.
Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.
Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.
Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.
Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .
Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.
- Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.
Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.
Решение: S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Некоторые свойства:
- Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:
a z 2 = a z -1 · a z+1
- Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.
- Элементы различаются в q раз.
- Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.
Примеры некоторых классических задач
Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.
- Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .
Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.
Следовательно, a 3 = q 2 · a 1
При подстановке q = 4
- Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .
Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.
a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2
a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.
Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.
a 4 = q 3 · a 1 = -80
Пример применения:
- Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?
Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06
Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.
S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625
Примеры задач на вычисление суммы:
В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:
a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 .
Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.
Решение:
В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q .
a 2 · q = a 3
q = 3
Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q .
a 1 · q = a 2
a 1 = 2
S 6 = 728.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a 1 , a 2 , ..., a n , ... называется предел суммы S n первых п чисел, когда п -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.
Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пусть a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна
Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:
Но 1 = 1, a q n = 0. Поэтому
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.
1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , ... равна
а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... равна
2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.
Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 / 100 , а знаменатель 1 / 100 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):
Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.
3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.
Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 / 1000 , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 / 1000 , а знаменатель 1 / 10 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.
В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995-1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .
Упражнения
995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
997. При каких значениях х прогрессия
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.
а) сумму периметров всех этих треугольников;
б) сумму их площадей.
999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 / 4 , а сумма квадратов ее членов равнялась 625 / 24 .
Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.
Определение прогрессии геометрической
Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.
Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.
Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.
Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.
Знаменатель прогрессии геометрической
Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:
- b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, ... Если элемент a1 будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
- b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.
Формула для суммы
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.
Бесконечно убывающая последовательность
Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1
Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.
Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.
Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы
Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?
Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии
Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.
Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.
Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача № 3. Чему равен знаменатель?
Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.
По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|
Задача № 4. Восстановление ряда чисел
Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.
Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию bn-1 * 17,2304966 = an, где b = 1,148698.
Где применяются прогрессии геометрические?
Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.
Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:
- Парадокс Зенона, в котором ловкий Ахиллес не может догнать медленную черепаху, решается с использованием понятия убывающей бесконечно последовательности чисел.
- Если на каждую клетку шахматной доски класть зерна пшеницы так, что на 1-ю клетку положить 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 и так далее, то чтобы заполнить все клетки доски понадобится 18446744073709551615 зерен!
- В игре "Башня Ханоя", чтобы переставить диски с одного стержня на другой, необходимо выполнить 2n - 1 операций, то есть их число растет в геометрической прогрессии от количества используемых дисков n.