Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Действия с дробями Сложение и вычитание дробей задания
Задачи на дроби
Задача 1. В классе школьников составляют отличники. Какую часть составляют остальные? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
Если составляют отличники, то составляют остальные
Задача 2 . В классе школьников составляют отличники, составляют хорошисты, составляют троечники. Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Задача 3. В классе 24 школьника. школьников составляют отличники, составляют хорошисты, составляют троечники. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?
Решение
24: 6 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)
24: 6 × 3 = 4 × 3 = 12 (хорошистов)
24: 6 × 2 = 4 × 2 = 8 (троечников)
Проверка
4 + 12 + 8 = 24 (школьника)
24 = 24
Задача 4. В классе школьников составляют отличники, составляют хорошисты. Какую часть составляют троечники?
Решение
Школьники разделены на 6 частей. На одну из частей приходятся отличники, на три части — хорошисты. Нетрудно догадаться, что на остальные две части приходятся троечники. Значит школьников составляют троечники
Не приводя рисунков можно сложить дроби и , и полученный результат вычесть из дроби , которая выражает всю часть школьников. Другими словами, сложить отличников и хорошистов, затем вычесть этих отличников и хорошистов из общего количества школьников
Задача 5 . В классе 16 школьников. Из них составляют отличники, составляют хорошисты. Сколько отличников и хорошистов в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
16: 4 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)
16: 16 × 12 = 1 × 12 = 12 (хорошистов)
Задача 6 . В классе 16 школьников. Из них составляют отличники, составляют хорошисты, составляют троечники. Сколько отличников, хорошистов и троечников в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
16: 8 × 1 = 2 × 1 = 2 (отличника)
16: 16 × 10 = 1 × 10 = 10 (хорошистов)
16: 4 = 4 (троечника)
Задача 7. Из зерен пшеницы производят полтавскую крупу, масса которой составляет массы зерна пшеницы, а остальное составляют кормовые отходы. Сколько можно получить полтавской крупы и кормовых отходов из 500 центнеров пшеницы
Решение
Найдем от 500 центнеров:
Теперь найдем массу кормовых отходов. Для этого вычтем из 500 ц массу полтавской крупы:
Значит из 500 центнеров зерен пшеницы можно получить 320 центнеров полтавской крупы и 180 центнеров кормовых отходов.
Задача 8. Килограмм сахара стоит 88 рублей. Сколько стоит кг сахара? кг? кг? кг?
Решение
1) кг это половина одного килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то половина килограмма будет стоит половину от 88, то есть 44 рубля. Если найти половину от 88 рублей, мы получим 44 рубля
88: 2 = 44
44 × 1 = 44 рубля
2) кг это четверть килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то четверть килограмма будет стоит четверти от 88 рублей, то есть 22 рубля. Если найти от 88 рублей, мы получим 22 рубля
88: 4 = 22
22 × 1 = 22 рубля
3) Дробь означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято три части. Если один килограмм стоит 88 рублей, то стоимость трех восьми килограмм будут стоить от 88 рублей. Если найти от 88 рублей, мы получим 33 рубля.
4) Дробь означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято одиннадцать частей. Но невозможно взять одиннадцать частей, если их только восемь. Мы имеем дело с неправильной дробью. Сначала выделим в ней целую часть:
Одиннадцать восьмых это один целый килограмм и килограмма. Теперь мы можем по отдельности найти стоимость одного целого килограмма и стоимость трёх восьмых килограммов. Один килограмм, как было указано выше стоит 88 рублей. Стоимость кг мы также находили и получили 33 рубля. Значит кг сахара будет стоит 88+33 рубля, то есть 121 рубль.
Стоимость можно найти не выделяя целой части. Для этого достаточно найти от 88.
88: 8 = 11
11 × 11 = 121
Но выделив целую часть можно хорошо понять, как сформировалась цена на кг сахара.
Задача 9. Финики содержат сахара и минеральных солей. Сколько граммов каждого из веществ содержится в 4 кг фиников?
Решение
Узнаем сколько граммов сахара содержится в одном килограмме фиников. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем от 1000 грамм:
1000: 25 = 40
40 × 18 = 720 г
В одном килограмме фиников содержится 720 грамм сахара. Чтобы узнать сколько грамм сахара содержится в четырех килограммах, нужно 720 умножить на 4
720 × 4 = 2880 г
Теперь узнаем сколько минеральных солей содержится в 4 килограммах фиников. Но сначала узнаем сколько минеральных солей содержится в одном килограмме. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем от 1000 грамм:
1000: 200 = 5
5 × 3 = 15 г
В одном килограмме фиников содержится 15 грамм минеральных солей. Чтобы узнать сколько грамм минеральных солей содержится в четырех килограммах, нужно 15 умножить на 4
15 × 4 = 60 г
Значит в 4 кг фиников содержится 2880 грамм сахара и 60 грамм минеральных солей.
Решение для данной задачи можно записать значительно короче, двумя выражениями:
Суть в том, что от 4 килограмм нашли и полученные 2,88 перевели в граммы, умножив на 1000. Тоже самое сделали и для минеральных солей — от 4 кг нашли и получившиеся килограммы перевели в граммы, умножив на 1000. Обратите также внимание на то, что дробь от числа найдена упрощенным способом — прямым умножением числа на дробь.
Задача 10. Поезд прошел 840 км, что составляет его пути. Какое расстояние ему осталось пройти? Каково расстояние всего пути?
Решение
В задаче говорится, что 840 км это от его пути. Знаменатель дроби указывает на то, что весь путь разделен на семь равных частей, а числитель указывает на то, что четыре части этого пути уже пройдено и составляют 840 км. Поэтому, разделив 840 км на 4, мы узнаем сколько километров приходится на одну часть:
840: 4 = 210 км.
А поскольку весь путь состоит из семи частей, то расстояние всего пути можно найти, умножив 210 на 7:
210 × 7 = 1470 км.
Теперь ответим на второй вопрос задачи — какое расстояние осталось пройти поезду? Если длина пути 1470 км, а пройдено 840, то оставшийся путь равен 1470−840, то есть 630
1470 − 840 = 630
Задача 11. Одна из групп, покорившая горную вершину Эверест, состояла из спортсменов, проводников и носильщиков. Спортсменов в группе было 25, число проводников составляло числа спортсменов, а число спортсменов и проводников вместе лишь 9/140 числа носильщиков. Сколько было носильщиков в этой экспедиции?
Решение
Спортсменов группе 25. Проводников составляет числа спортсменов. Найдем от 25 и узнаем сколько в группе проводников:
25: 5 × 4 = 20
Спортсменов и проводников вместе — 45 человек. Это число составляет от числа носильщиков. Зная что от числа носильщиков это 45 человек, мы можем найти общее число носильщиков. Для этого найдем число по дроби:
45: 9 × 140 = 5 × 140 = 700
Задача 12. В школу привезли 900 новых учебников, из них учебники по математике составляли всех книг, учебники по русскому языку всех книг, а остальные книги были по литературе. Сколько привезли книг по литературе
Узнаем сколько составляют учебники по математике:
900: 25 × 8 = 288 (книг по математике)
Узнаем сколько учебников по русскому языку:
900: 100 × 33 = 297 (книг по русскому языку)
Узнаем сколько учебников по литературе. Для этого из общего числа книг вычтем учебники по математике и по русскому:
900 – (288+297) = 900 – 585 = 315
Проверка
288 + 297 + 315 = 900
900 = 900
Задача 13 . В первый день продали , а во второй день поступившего в магазин винограда. Какую часть винограда продали за два дня?
Решение
За два дня продали винограда. Эта часть получается путем сложения дробей и
Можно представить поступивший в магазин виноград в виде шести гроздей. Тогда винограда это две грозди, винограда — три грозди, а винограда это пять гроздей из шести, проданные за два дня. Ну и нетрудно увидеть, что осталась одна гроздь, выраженная дробь (одна гроздь из шести)
Задача 14 . Вера в первый день прочитала книги, а во второй день на меньше. Какую часть книги прочитала Вера во второй день? Успела ли она прочитать книгу за два дня?
Решение
Определим часть книги, прочитанной во второй день. Сказано, что во второй день прочитано на меньше, чем в первый день. Поэтому из нужно вычесть
Во второй день Вера прочитала книги. Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать книгу за два дня? Сложим то, что Вера прочитала в первый и во второй день:
За два дня Вера прочитала книги, но осталось ещё книги. Значит Вера не успела прочитать всю книгу за два дня.
Сделаем проверку. Предположим что книга, которую читала Вера, имела 180 страниц. В первый день она прочла книги. Найдем от 180 страниц
180: 9 × 5 = 100 (страниц)
Во второй день Вера прочитала на меньше, чем в первый. Найдем от 180 страниц, и вычтем полученный результат из 100 листов, прочитанных в первый день
180: 6 × 1 = 30 × 1 = 30 (страниц)
100 − 30 = 70 (страниц во второй день)
Проверим, являются ли 70 страниц частью книги:
180: 18 × 7 = 10 × 7 = 70 (страниц)
Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать все 180 страниц за два дня. Ответ — не успела, поскольку за два дня она прочла только 170 страниц
100 + 70 = 170 (страниц)
Осталось прочесть еще 10 страниц. В задаче в роли остатка у нас была дробь . Проверим являются ли 10 страниц частью книги?
180: 18 × 1 = 10 × 1 = 10 (страниц)
Задача 15 . В одном пакете кг, а в другом на кг меньше. Сколько килограммов конфет в двух пакетах вместе?
Решение
Определим массу второго пакета. Она на кг меньше, чем масса первого пакета. Поэтому из массы первого пакета вычтем массу второго:
Масса второго пакета кг. Определим массу обоих пакетов. Сложим массу первого и массу второго:
Масса обоих пакетов кг. А килограмма это 800 граммов. Можно решать такую задачу, работая с дробями, складывая и вычитая их. Также можно сначала найти число по данным в задаче дробям и приступить к решению. Так килограмма это 500 граммов, а кг это 200 граммов
1000: 2 × 1 = 500 × 1 = 500 г
1000: 5 × 1 = 200 × 1 = 200 г
Во втором пакете на 200 граммов меньше, поэтому чтобы определить массу второго пакета, нужно из 500 г вычесть 200 г
500 − 200 = 300 г
Ну и напоследок сложить массы обоих пакетов:
500 + 300 = 800 г
Задача 16. Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли всего пути, во второй оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?
Решение
В задаче сказано, что во второй день туристы прошли оставшегося пути . Дробь означает, что оставшийся путь разделен на 7 равных частей, из них туристы прошли три части, но осталось пройти остальные . На эти приходится то расстояние, которое туристы прошли в третий и четвертый день, то есть 24 км (по 12 км в каждом дне). Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую второй, третий и четвертый дни:
В третий и четвертый день туристы прошли 24 км и это составляет от пути, пройденного во второй, третий и четвертый дни. Зная, что составляют 24 км, мы можем найти весь путь, пройденный во второй, третий и четвертый день:
24: 4 × 7 = 6 × 7 = 42 км
Во второй, третий и четвертый день туристы прошли 42 км. Теперь найдем от этого пути. Так мы узнаем сколько километров туристы прошли во второй день:
42: 7 × 3 = 6 × 3 = 18 км
Теперь возвращаемся к началу задачи. Сказано, что в первый день туристы прошли всего пути. Весь путь разделен на четыре части, и на первую часть приходится путь, пройденный в первый день. А путь, который приходится на остальные три части, мы уже нашли — это 42 километра, пройденные во второй, третий и четвертый дни. Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую первый и остальные три дня:
Зная, что пути составляют 42 километра, мы можем найти длину всего пути:
42: 3 × 4 = 56 км
Значит длина пути от турбазы до озера составляет 56 километров. Сделаем проверку. Для этого сложим все пути, пройденные туристами в каждый из четырех дней.
Сначала найдем путь пройденный в первый день:
56: 4 × 1 = 14 (в первый день)
14 + 18 + 12 + 12 = 56
56 = 56
Задача из арифметики известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.)
«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10»
Изобразим число, которое мы хотим найти, в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отрезка отметим треть, во второй — четверть, оставшаяся третья часть будет изображать число 10.
Сложим треть и четверть:
Теперь изобразим отрезок, разделенный на 12 частей. Отметим на нем дробь , остальные пять частей пойдут на число 10:
Зная, что пять двенадцатых числа составляют число 10, мы можем найти всё число:
10: 5 × 12 = 2 × 12 = 24
Мы нашли всё число — оно равно 24.
Эту задачу можно решить не приводя рисунков. Для этого, сначала нужно сложить треть и четверть. Затем из единицы, которая играет роль неизвестного числа, вычесть результат сложения трети и четверти. Затем по полученной дроби определить всё число:
Задача 17 . Семья, состоящая из четырех человек, в месяц зарабатывает 80 тысяч рублей. Бюджет распланирован следующим образом: на еду, на коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, на лечение и походы по врачам, на пожертвование в детский дом, на проживание в съемной квартире, в копилку. Сколько денег выделено на еду, коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, на лечение и походы по врачам, пожертвование на детский дом, на проживание в съемной квартире, и на копилку?
Решение
80: 40 × 7 = 14 (тыс. на еду)
80: 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на коммунальные услуги)
80: 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на Интернет и ТВ)
80: 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на лечение и походы по врачам)
80: 10 × 1 = 8 × 1 = 8 тыс. (на пожертвование в детский дом)
80: 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на проживание в съемной квартире)
80: 40 × 13 = 2 × 13 = 26 тыс. (в копилку)
Проверка
14 + 4 + 4 + 12 + 8 + 12 + 26 = 80
80 = 80
Задача 18 . Туристы во время похода за первый час прошли км, а за второй на км больше. Сколько километров прошли туристы за два часа?
Решение
Найдем числа по дробям. это три целых километра и семь десятых километра, а семь десятых километра это 700 метров:
Это один целый километр и одна пятая километра, а одна пятая километра это 200 метров
Определим длину пути, пройденного туристами за второй час. Для этого к 3 км 700 м нужно прибавить 1 км 200 м
3 км 700 м + 1 км 200 м = 3700м + 1200м = 4900м = 4 км 900 м
Определим длину пути, пройденного туристами за два часа:
3 км 700 м + 4 км 900 = 3700м + 4900м = 8600м = 8 км 600 м
Значит за два часа туристы прошли 8 километров и еще 600 метров. Решим эту задачу с помощью дробей. Так её можно значительно укоротить
Получили ответ километра. Это восемь целых километров и шесть десятых километра, а шесть десятых километра это шестьсот метров
Задача 19 . Геологи прошли долину, расположенную между горами, за три дня. В первый день они прошли , во второй всего пути и в третий оставшиеся 28 км. Вычислить длину пути, проходящего по долине.
Решение
Изобразим путь в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отметим пути, во второй части пути, в третьей части оставшиеся 28 километров:
Сложим части пути, пройденные в первый и во второй день:
За первый и второй дни геологи прошли всего пути. На остальные пути приходятся 28 километров, пройденные геологами в третий день. Зная, что 28 километров это всего пути, мы можем найти длину пути, проходящего по долине:
28: 4 × 9 = 7 × 9 = 63 км
Проверка
63: 9 × 5 = 7 × 5 = 35
63: 9 × 4 = 7 × 4 = 28
35 + 28 = 63
63 = 63
Задача 20 . Для приготовления крема использовали сливки, сметану и сахарную пудру. Сметану и сливки составляют 844,76 кг, а сахарная пудра и сливки 739,1 кг. Сколько в отдельности сливок, сметаны и сахарной пудры содержится в 1020,85 кг крема?
Решение
сметана и сливки — 844,76 кг
сахарная пудра и сливки — 739,1 кг
Вытащим из 1020,85 кг крема сметану и сливки (844,76 кг). Так мы найдем массу сахарной пудры:
1020,85 кг — 844,76 кг = 176,09 (кг сахарной пудры)
Вытащим из сахарной пудры и сливок сахарную пудру (176,09 кг). Так мы найдем массу сливок:
739,1 кг — 176,09 кг = 563,01 (кг сливок)
Вытащим сливки из сметаны и сливок. Так мы найдем массу сметаны:
844,76 кг — 563,01 кг = 281,75 (кг сметаны)
176,09 (кг сахарная пудра)
563,01 (кг сливки)
281,75 (кг сметана)
Проверка
176,09 кг + 563,01 кг + 281,75 кг = 1020,85 кг
1020,85 кг = 1020,85 кг
Задача 21 . Масса бидона, заполненного молоком равна 34 кг. Масса бидона, заполненного наполовину, равна 17,75 кг. Какова масса пустого бидона?
Решение
Вычтем из массы бидона, заполненного молоком, массу бидона заполненного наполовину. Так мы получим массу содержимого бидона, заполненного наполовину, но уже без учета массы бидона:
34 кг − 17,75 кг = 16,25 кг
16,25 это масса содержимого бидона заполненного наполовину. Умножим эту массу на 2, получим массу бидона заполненного полностью:
16,25 кг × 2 = 32,5 кг
32,5 кг это масса содержимого бидона. Чтобы вычислить массу пустого бидона, нужно из 34 кг вычесть массу его содержимого, то есть 32,5 кг
34 кг − 32,5 кг = 1,5 кг
Ответ : масса пустого бидона составляет 1,5 кг.
Задача 22 . Сливки составляют 0,1 массы молока, а сливочное масло составляет 0,3 массы сливок. Сколько сливочного масла можно получить из суточного надоя коровы, равного 15 кг молока?
Решение
Определим сколько килограмм сливок можно получить с 15 кг молока. Для этого найдем 0,1 часть от 15 кг.
15 × 0,1 = 1,5 (кг сливок)
Теперь определим сколько сливочного масла можно получить с 1,5 кг сливок. Для этого найдем 0,3 часть от 1,5 кг
1,5 кг × 0,3 = 0,45 (кг сливочного масла)
Ответ : из 15 кг молока можно получить 0,45 кг сливочного масла.
Задача 23 . 100 кг клея для линолеума содержат 55 кг асфальта, 15 кг канифоли, 5 кг олифы и 25 кг бензина. Какую часть этого клея образует каждая из его составляющих?
Решение
Представим, что 100 кг клея как 100 частей. Тогда на 55 частей приходится асфальт, на 15 частей — канифоль, на 5 частей — олифа, на 25 частей — бензин. Запишем эти части в виде дробей, и по возможности сократим получающиеся дроби:
Ответ: клея составляет асфальт, составляет канифоль, составляет олифа, составляет бензин.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3. В первый час лыжник прошел всего расстояния, которое он должен пройти, во второй всего пути, а в третий оставшуюся часть пути. Какую часть всего расстояния прошел лыжник в третий час?
Решение
Определим часть пути, пройденного лыжником за два часа движения. Для этого сложим дроби, выражающие пути пройденные за первый и второй час:
Определим часть пути, пройденного лыжником за третий час. Для этого из всех частей вычтем часть пути, пройденного за первый и второй час движения:
Ответ: в третий час лыжник прошел всего расстояния.
Задача 4. Все мальчики класса приняли участие в школьных соревнованиях: часть вошла в футбольную команду, часть в баскетбольную, часть состязалась по прыжкам в длину, остальные учащиеся класса – в бегу. На какую часть бегунов было больше (или меньше), чем футболистов? баскетболистов?
Действия с дробями.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.
Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.
Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.
Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.
А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.
Сложение и вычитание дробей.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:
Короче, в общем виде:
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .
Ещё пример:
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...
Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)
Вычислить:
Ответы (в беспорядке):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: в классе отсутствует учащихся.
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600: 4 = 150 (р.)
Ответ: истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.
Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение числа по его дроби
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .
Решение:
Ответ: длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)
Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.
В реальном учебном процессе требуется не так много задач на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями - здесь будет достаточно задач из учебника. Больше внимания мы уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу. Причем сначала представлять ее лучше как 2 / 2 , 3 / 3 и т.п. величины.
163 . Девочка прочитала 2/5, потом еще 1 / 5 книги. Какую часть книги она прочитала?
164 . Туристы прошли 1 / 7 , потом еще 3 / 7 всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти?
165 . Два тракториста скосили 5 / 9 луга, причем первый тракторист скосил 2 / 9 луга. Какую часть луга скосил второй тракторист?
166 . Первый тракторист вспахал 2 / 7 поля, второй - 3 / 7 поля. Вместе они вспахали 10 га . Определите площадь поля.
167 . Решите задачи 150 (а–в), используя вычитание дробей.
168 . Решите задачи 154 (1–2), используя вычитание дробей.
169 . 1) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьев улетела, то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?
2) Некто израсходовал 3 / 4 своих денег и у него осталось 200 р. Сколько денег у него было?
3) В первый день туристы прошли 2 / 5 намеченного маршрута, а во второй день оставшиеся 15 км . Какова длина маршрута?
4) У Васи в коллекции 200 марок. За последний год число марок в коллекции увеличилось на 1 / 4 . Сколько марок было в коллекции год назад?
170 . До обеда токарь выполнил 2 / 8 задания, после обеда - 3 / 8 задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?
171 . Из « Арифметики» Л.Н. Толстого . Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7 / 10 всех денег, а жена 690 р. Сколько было всех денег?
172 . Решите двумя способами задачи из египетских папирусов.
1) Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти
количество.
2) Число и его половина составляют 9. Найти число.
173 . Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите ее двумя способами.
Начиная со следующей задачи в решениях встречаются сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Если этот материал в 5 классе не изучался, то оставшиеся задачи, связанные с дробями, следует отложить до 6 класса.
174 . а) В каждый час первая труба наполняет 1 / 2 бассейна, а вторая - 1 / 3 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?
б) Первая бригада может выполнить в день 1 / 12 задания, а вторая - 1 / 8 задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы?
в) Легковая машина в час проезжает 1 / 10 расстояния между городами, а грузовая - 1 / 12 этого расстояния. На какую часть этого расстояния сближаются за 1 ч машины при движении навстречу друг другу?
175 . а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2 / 3 поля. Первый тракторист вспахал 1 / 2 поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?
б) Две машины, едущие навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на 1 / 3 расстояния между двумя городами. Первая машина проехала 1 / 8 этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?
в) Через две трубы за каждый час наполняется 1 / 3 бассейна. Через первую трубу за 1 ч наполняется 1 / 10 бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?
176 . Из бочки вылили сначала 1 / 2 находившейся в ней воды, потом 1 / 3 , 1 / 15 и 1 / 10 . Какую часть воды вылили?
177 .* Я отпил полчашки черного кофе и долил ее молоком. Потом я отпил 1 / 3 чашки и долил ее молоком. Потом я отпил 1 / 6 чашки и долил ее молоком. Наконец, я допил содержимое чашки до конца. Чего я выпил больше: кофе или молока?
178 . Старинные задачи . 1) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч , а второй за 6 ч. На какую часть расстояния они приближаются за 1 ч ?
2) Для постройки купальни наняты три плотника; первый сделал в день 2 / 33 всей работы, второй 1 / 11 , третий 7 / 55 . Какую часть всей работы сделали все они в день?
3) Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение в 24 дня, второй в 36 дней, третий в 20 и четвертый в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будут работать вместе?
179 . 1) Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом еще 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
2) Старинная задача . Прохожий, догнавший другого, спросил: « Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями» . Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
180 . Задача Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось 1 / 4 этой суммы, на долю второго 1 / 7 , a на долю третьего 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 класс на тему:
26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
1005 Из помидоров массой 5/16 кг и огурцов массой 9/16 кг сделали салат. Какова масса салата?
РЕШЕНИЕ
1006 Масса станка равна 73/100 т, а масса его упаковки 23/100 т. Найдите массу станка вместе с упаковкой.
РЕШЕНИЕ
1007 В первый день картофель посадили на 2/7 участка, а во второй день на 3/7 участка. Какая часть участка была засажена картофелем за эти два дня?
РЕШЕНИЕ
1008 Одна бригада получила 7/10 т гвоздей, а вторая на 3/10 т меньше. Сколько гвоздей получила вторая бригада?
РЕШЕНИЕ
1009 За два дня засеяли 10/11 поля. В первый день засеяли 4/11 поля. Какую часть поля засеяли во второй день?
РЕШЕНИЕ
1010 Цистерна на 3/5 наполнена бензином,1/5 цистерны перелили в бочку. Какая часть цистерны осталась заполненной бензином?
РЕШЕНИЕ
1012 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ
1013 Из 11 теплиц овощеводческого хозяйства 4 засажены помидорами, а 2 огурцами. Какая часть теплиц занята огурцами и помидорами? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ
1014 Для посадки леса выделили участок площадью 300 га. Ель высадили на 3/10 участка, а сосну на 4/10 участка. Сколько гектаров занято елью и сосной вместе?
РЕШЕНИЕ
1015 Бригада решила изготовить 175 изделий сверх плана. В первый день она изготовила 9/25 этого количества, во второй день 13/25 этого количества. Сколько изделий изготовила бригада за эти два дня? Сколько изделий ей осталось изготовить?
РЕШЕНИЕ
1016 Картофелем засажено 11/17 поля овощеводческого хозяйства. Огурцами засеяно на 1/17 поля больше, чем морковью, и на 8/17 поля меньше, чем картофелем. Какая часть поля засеяна огурцами и какая морковью? Какая часть поля занята картофелем, огурцами и морковью вместе?
РЕШЕНИЕ
1019 В палатке было 2 ц 70 кг фруктов. Яблоки составляли 5/9 всех фруктов, а груши 1/9 всех фруктов. На сколько масса яблок больше массы груш? Решите задачу двумя способами.
РЕШЕНИЕ
1020 В первый день турист прошел 5/14 всего пути, а во второй день 7/14. Известно, что за эти два дня турист прошел 36 км. Сколько километров составляет весь путь туриста?
РЕШЕНИЕ
1021 Первый рассказ занимал 5/13 книги, а второй рассказ 2/13 книги. Известно, что первый рассказ занимал на 12 страниц больше, чем второй. Сколько страниц во всей книге?
РЕШЕНИЕ
1022 Воспользовавшись равенством 4/25 + 12/25= 16/25 найдите значения выражении и решите уравнения
РЕШЕНИЕ
1024 На экскурсию отправляются 260 человек. Сколько нужно заказать автобусов, если в каждом автобусе должно быть не более 30 пассажиров?
РЕШЕНИЕ
1025 Начертите отрезок. Затем начертите отрезок, длина которого равна
РЕШЕНИЕ
1026 Найдите координаты точек A, B, C, D, E, M, К (рис. 128) и сравните эти координаты с 1.
РЕШЕНИЕ
1027 Вычислите периметр и площадь треугольника ABC (рис. 129)
РЕШЕНИЕ
1030 Найдите все значения x, при которых дробь x/15 будет правильной, а дробь 8/x неправильной.
РЕШЕНИЕ
1031 Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
РЕШЕНИЕ
1033 Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда.
РЕШЕНИЕ
1034 Для изготовления 750 м вискозной ткани требуется 10 кг целлюлозы. Из 1 м3 древесины можно получить 200 кг целлюлозы. Сколько метров вискозной ткани можно получить из 20 м3 древесины?
РЕШЕНИЕ
1035 Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определенной последовательности набрать код. Сколько существует вариантов кода для этого замка?
РЕШЕНИЕ
1036 Решите уравнение: а) (x - 111) · 59 = 11 918; б) 975(x - 615) = 12 675; в) (30 901 - a) : 605 = 51; г) 39 765: (b - 893) = 1205.
РЕШЕНИЕ
1037 Решите задачу: 1) Из 30 высаженных семян взошли 23. Какая часть высаженных семян взошла? 2) На пруду плавали 40 лебедей. Из них 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди?
РЕШЕНИЕ
1038 Найдите значение выражения: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24 078 + 30 785); 2) (43 512-43 006) · 805 - (48 987 + 297 305)
РЕШЕНИЕ
1039 За первый час было расчищено от снега 5/17 всей дороги, а за второй час 9/17 всей дороги. Какая часть дороги была расчищена от снега за эти два часа? На какую часть дороги было расчищено меньше в первый час, чем во второй?
РЕШЕНИЕ
1040 На платье для первой куклы было израсходовано 6/25 м ткани, а на платье для второй куклы 9/25 ткани. Сколько ткани было израсходовано на оба платья? На сколько больше ткани было израсходовано на платье второй куклы, чем на платье первой куклы?